注意

自分自身の復習や予習も兼ねてのスライドです

間違いや勘違いが含まれる可能性が多分にあります

型とは

値の集合の形

1の型はInteger
"a"の型はString
3.14の型はFloating

関数にも型がある

関数自体も無名関数が即時に作れて変数に代入したり出来るので値である

フォン・ノイマン型の世界においてはプログラム自体がメモリ上に格納されて変化しうる単なる値であるとも考えられる

関数の型

int double(int x)
{
  return x * 2;
}

これの型は\(Integer → Integer\)と書く

string toString(int x) {
  return toString(x);
}

これの型は\(Integer → String\)と書く

高階関数の型

function f(g) {
  return g(1) * g(2)
}

function g1(x) {
  return x + 1
}

function g2(x) {
  return x * 2
}

g1とg2の型は \(Integer → Integer\)

fの型は\(Integer → Integer\)を引数にして\(Integer\)を返すので

\((Integer → Integer) → Integer\)

引数の数が2以上の場合

function product(x, y) {
  return x * y
}

これは高階関数を使えば一引数の関数だけで実装可能になる

function product(x) {
  return function(y) {
    return x * y
  }
}

product(2)(3) //=> 6

これを関数のカリー化と言う

カリー化された関数の型

function product(x) {
  return function(y) {
    return x * y
  }
}

まず外側のfunctionに注目

\(Integer\) である x を受け取り関数を返している

\(Integer → (T → S)\)という型になる(\(T\), \(S\)は型変数)

返している関数の型は\(Integer\) yを受け取り\(Integer\)を返り値にしているので\(Integer → Integer\)である

以上より関数productの型は\(Integer → (Integer → Integer)\)である

\(→\)の結合の優先順位

右結合にするのが一般的である

すなわち

\(Integer → Integer → Integer\)

は

\(Integer → (Integer → Integer)\)

である

同様に \(T_1 → T_2 → T_3 → T_4\) は \(T_1 → (T_2 → (T_3 → T_4))\) である

関数の型の読み方(1)

\(T_1 → T_2 → T_3 → T_4\)

型が\(T_1, T_2, T_3\)の3つの引数を受け取り型が\(T_4\)の戻り値を返す関数の型

と読める

例

function(x, y, z) {
  return x + y + z
}

カリー化すると

function(x) {
  return function(y) {
    return function(z) {
      return x + y + z
    }
  }
}

関数の型の読み方(2)

\((T_1 → T_2) → (T_3 → T_4)\)

型が\(T1 → T2\)となる関数を引数に受け取り型が\(T_3→T_4\)となる関数を戻り値とする関数の型

と読める

例

function (f) {
  return function(x) { /* ... */ }
}

型クラス

オブジェクト指向で言う所のインタフェイスみたいなもの

Haskellでは\(Integer\)型は\(Ord\)という型クラスのインスタンスである

\(Ord\)型クラスに属する型に属する値はOrdinaryでなければならない(順序を持ってなければならない)

例

\(Ord\)型クラスに属する\(Integer\)型の値1, 2, 3...は順序を持っている

... < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ...

型クラスの継承関係

\(Ord\)型クラスは\(Eq\)型クラスを継承している

\(Eq\)型クラスは属する型の値が同値かどうかが確認出来なければならない(=の演算が出来なければならない)

※代入ではない

\(Integer\)と\(Floating\)型クラスは\(Num\)型クラスを継承している

Maybe型やOptional型

HaskellにはMaybe型
SwiftにはOptional(Int)型で実現されるInt?

などがある

型コンストラクタ

型クラスは型コンストラクタを持つ

型コンストラクタは型を引数に取ることがある

Array型クラスなどはIntegerやFloatingなどの型を取りIntegerやFloatingの配列型となる

C++のtemplateを知ってる人は想像すると分かりやすいかも

例

OptionalもMaybeも型クラスである

Optional(Int)型はInt型の値か又はnilを持つ

Maybe IntegerはInteger型の値か又はNothingを持つ

そういうものを扱う方法を抽象化することが出来る

Functor
Applicative
Monad

型

Functor

\((a → b) → (f a → f b)\)

Applicative

\(f (a → b) → f a → f b\)

Monad

\(m a → (a → b) → m b\)

型の勉強

注意

型とは